【解答】
図 1: 四面体 と円柱
を原点とする．，だから
は原点を中心とする外接円半径の正三角形であり，その内接円の半径はである．
つまり円柱面は平面上でちょうどの各辺の中点に内接する円である．
図 2: における断面（）と円 ．斜線部が求める領域の底面（円の外側）， は の中点で，橙色の領域が 分割の1つ．
の中点をとするとその座標は
である．
対称性から，四面体のうちをみたす部分の体積をとすると，求める体積は
である．
さて，図形をで切断しよう．の座標からすなわち
で考えれば良い．
図 3: 四面体 と平面 による切断面
四面体の頂点，，は平面上にあり，のみにある．したがって平面による断面は，を中心にを倍した相似な三角形で，その頂点は平面で
にある．これを図示すると下図のようになる．
図 4: 平面 による切断面
この断面のうちをみたす部分は，および, (式3)より
である．従って，題意を満たす領域は下図の斜線部である．
図 5: 平面 による切断面と断面積 （斜線部）
この領域もまた直角二等辺三角形であり，その辺の長さは
である．
従って断面の面積をとすると
である．したがって体積は
と書ける．の置換積分を行うと，であることに注意して，またに(式7)を代入して
である．第一項をを使って変形して
だから各項を積分して
を(式12)に代入して
だから，(式2)に代入して求める面積は
である．
【別解】
本解答ではで切断することで切断面を三角形にすることで簡単に切断面の面積が求まるように工夫した．
より普通に解こうとすると一定面で切断することになる．これでも解けるので以下紹介しよう．
四面体を高さ（）で水平に切った断面を考える．
この時の切断面は相似により一辺の長さの正三角形であり，図示すると下図のようになる．
斜線部が求める立体の部分である．
図 6: 高さ における断面（一辺 の正三角形）
図のようにをおくと正三角形の性質から
であり，斜線部の面積とおくと，これは正三角形の面積から円の面積を差し引き，余分な円帽の部分を足したもので
だから，求める体積はこれをについて積分して
である．以下はこれを積分すれば本解答と同じ結果を得る．
