東京工業大学 前期 2012年 第3問 (解答解説)

【解答】

与えられた関数を

とおく．

(1)

方程式のの解を求めれば良い．(式1)を代入して

より両辺で割って

である．これがに実数解を持てば良い． 左辺を平方完成すると

だから，このような条件は

である．

(2)

(式5)の範囲で考えよう．(式3)の重解を含む二つの実数解をとする．ただしとする． の時(式3)よりとなりとはで接し，がそれ以上になれば図よりは単調増加するから， 最小値は

でとる．従って以下この範囲で考える．この時解と係数の関係から

だから，は常に以上である．

との差を

とおくと，の解がだから因数定理より

と書ける．これはで正，で負だから，とで囲まれる面積は

と書ける． はの関数であることに注意して両辺をで微分する． まず(式8),(式9)より

だから，

なので，右辺の各項を微分すると

となる． よって(式11)の両辺をで微分してこれらを代入すると

となる． さて，より（等号はのときのみ）だから，の符号はの符号で決まる． 簡単のため

とおくと

だから，

よってはを境に符号がからに変わる． このとき

より

であり，これは(式6)の範囲内である． 以上からの増減表は以下のようになる．

			極小

従っては

で最小となる．