東京工業大学前期 2013年第5問 (解答解説)

【解答】

上の点をとおく．またの中心をとおく．

楕円 $C_2$ に内接する円 $C_1$ と接点 $P$ — 図 1: 楕円に内接する円と接点

(1)

がに内接するためには

の 半 径

であることが必要である．実際にを計算すると

である．これをとおく．より接点は側にあるから，

としてよく，このもとでとして

の最小値を考えよう．

は高々次式であり，二次係数の大きさで場合分けする．

すなわちの時（）

この時は(式6)は

となり，よりこれはで単調減少だから

である．

すなわちの時（）

この時はは下に凸な二次式であり，(式6)を平方完成して

である．およびより軸は正だから，この最小値は軸がに含まれるかどうかを考えて

である．

すなわちの時（）

この時はは上に凸な二次式であり，(式6)を平方完成して

である．およびより軸は負だから，このでの最小値は常にである．よって

である．

以上(式8),(式11),(式13)をまとめて

である．よって(式1)に代入して求める条件は

である．前者の時は接点はとなる点，後者は接点である．この時，いずれもがの内側にあり，がに内接しており十分である．

(2)

のときだから(式16)の前者の場合に該当する．この時は(式16)より

となるから，接点の座標は接点の座標は

であり，は第一象限にあるのでだから

である．これらをまとめて求める座標は

である．

(3)

の範囲でとに囲まれた部分の面積をとする．の軸に関する対称性から，上半分（）の面積をとして

であり，の領域は下図の斜線部である．

第1象限における囲まれた部分の面積 $T'$（斜線部） — 図 2: 第1象限における囲まれた部分の面積（斜線部）

は楕円の扇形から三角形と円の一部を差し引いたものである．さらに円の一部は扇形から三角形を引いたものである．

\begin is only supported in math mode\begin{align} T' &= \left(\text{ \begin{tikzpicture}[baseline={(0,-0.1)}, scale=0.85] \fill[pattern=north east lines, pattern color=black!50] (0,0) -- (1.1,0) arc[start angle=0, end angle=45, radius=1.1] -- cycle; \draw[thick] (0,0) -- (1.1,0) arc[start angle=0, end angle=45, radius=1.1] -- cycle; \node[below left, font=\scriptsize, inner sep=1pt] at (0,0) {$O$}; \node[below right, font=\scriptsize, inner sep=1pt] at (1.1,0) {$C$}; \node[above right, font=\scriptsize, inner sep=1pt] at (45:1.1) {$P$}; \node[circle, fill, inner sep=0.6pt] at (0,0) {}; \node[circle, fill, inner sep=0.6pt] at (1.1,0) {}; \node[circle, fill, inner sep=0.6pt] at (45:1.1) {}; \end{tikzpicture}}\right) - \left(\text{ \begin{tikzpicture}[baseline={(0,-0.1)}, scale=0.85] \fill[pattern=north east lines, pattern color=black!50] (0,0) -- (0.9,0) -- (0.9,0.65) -- cycle; \draw[thick] (0,0) -- (0.9,0) -- (0.9,0.65) -- cycle; \node[below left, font=\scriptsize, inner sep=1pt] at (0,0) {$O$}; \node[below right, font=\scriptsize, inner sep=1pt] at (0.9,0) {$Q$}; \node[above, font=\scriptsize, inner sep=1pt] at (0.9,0.65) {$P$}; \node[circle, fill, inner sep=0.6pt] at (0,0) {}; \node[circle, fill, inner sep=0.6pt] at (0.9,0) {}; \node[circle, fill, inner sep=0.6pt] at (0.9,0.65) {}; \end{tikzpicture}}\right) - \left(\text{ \begin{tikzpicture}[baseline={(0,-0.1)}, scale=0.85] \fill[pattern=north east lines, pattern color=black!50] (0,0) -- (0.5,0) arc[start angle=0, end angle=60, radius=0.7] -- (0,0.61) -- cycle; \draw[thick] (0,0) -- (0.5,0) arc[start angle=0, end angle=60, radius=0.7] -- (0,0.61) -- cycle; \node[below left, font=\scriptsize, inner sep=1pt] at (0,0) {$Q$}; \node[below right, font=\scriptsize, inner sep=1pt] at (0.5,0) {$B$}; \node[above left, font=\scriptsize, inner sep=1pt] at (0,0.61) {$P$}; \node[circle, fill, inner sep=0.6pt] at (0,0) {}; \node[circle, fill, inner sep=0.6pt] at (0.5,0) {}; \node[circle, fill, inner sep=0.6pt] at (0,0.61) {}; \end{tikzpicture}}\right) \end{align}

\begin is only supported in math mode\begin{align} \mathord{\vcenter{\hbox{ \begin{tikzpicture}[baseline={(0,-0.1)}, scale=0.85] \fill[pattern=north east lines, pattern color=black!50] (0,0) -- (0.5,0) arc[start angle=0, end angle=60, radius=0.7] -- (0,0.61) -- cycle; \draw[thick] (0,0) -- (0.5,0) arc[start angle=0, end angle=60, radius=0.7] -- (0,0.61) -- cycle; \node[below left, font=\scriptsize, inner sep=1pt] at (0,0) {$Q$}; \node[below right, font=\scriptsize, inner sep=1pt] at (0.5,0) {$B$}; \node[above left, font=\scriptsize, inner sep=1pt] at (0,0.61) {$P$}; \node[circle, fill, inner sep=0.6pt] at (0,0) {}; \node[circle, fill, inner sep=0.6pt] at (0.5,0) {}; \node[circle, fill, inner sep=0.6pt] at (0,0.61) {}; \end{tikzpicture}}}}&= \left(\mathord{\vcenter{\hbox{ \begin{tikzpicture}[baseline={(0,-0.1)}, scale=0.85] \fill[pattern=north east lines, pattern color=black!50] (0,0) -- (0.7,0) arc[start angle=0, end angle=60, radius=0.7] -- cycle; \draw[thick] (0,0) -- (0.7,0) arc[start angle=0, end angle=60, radius=0.7] -- cycle; \node[below left, font=\scriptsize, inner sep=1pt] at (0,0) {$A$}; \node[below right, font=\scriptsize, inner sep=1pt] at (0.7,0) {$B$}; \node[above right, font=\scriptsize, inner sep=1pt] at (60:0.7) {$P$}; \node[circle, fill, inner sep=0.6pt] at (0,0) {}; \node[circle, fill, inner sep=0.6pt] at (0.7,0) {}; \node[circle, fill, inner sep=0.6pt] at (60:0.7) {}; \end{tikzpicture}}}}\right) - \left(\mathord{\vcenter{\hbox{ \begin{tikzpicture}[baseline={(0,-0.1)}, scale=0.85] \fill[pattern=north east lines, pattern color=black!50] (0,0) -- (0.35,0) -- (0.35,0.61) -- cycle; \draw[thick] (0,0) -- (0.35,0) -- (0.35,0.61) -- cycle; \node[below left, font=\scriptsize, inner sep=1pt] at (0,0) {$A$}; \node[below right, font=\scriptsize, inner sep=1pt] at (0.35,0) {$Q$}; \node[above, font=\scriptsize, inner sep=1pt] at (0.35,0.61) {$P$}; \node[circle, fill, inner sep=0.6pt] at (0,0) {}; \node[circle, fill, inner sep=0.6pt] at (0.35,0) {}; \node[circle, fill, inner sep=0.6pt] at (0.35,0.61) {}; \end{tikzpicture}}}}\right) \end{align}

より，まとめて

\begin is only supported in math mode\begin{align} T' &= \left(\text{ \begin{tikzpicture}[baseline={(0,-0.1)}, scale=0.85] \fill[pattern=north east lines, pattern color=black!50] (0,0) -- (1.1,0) arc[start angle=0, end angle=45, radius=1.1] -- cycle; \draw[thick] (0,0) -- (1.1,0) arc[start angle=0, end angle=45, radius=1.1] -- cycle; \node[below left, font=\scriptsize, inner sep=1pt] at (0,0) {$O$}; \node[below right, font=\scriptsize, inner sep=1pt] at (1.1,0) {$C$}; \node[above right, font=\scriptsize, inner sep=1pt] at (45:1.1) {$P$}; \node[circle, fill, inner sep=0.6pt] at (0,0) {}; \node[circle, fill, inner sep=0.6pt] at (1.1,0) {}; \node[circle, fill, inner sep=0.6pt] at (45:1.1) {}; \end{tikzpicture}}\right) - \left(\text{ \begin{tikzpicture}[baseline={(0,-0.1)}, scale=0.85] \fill[pattern=north east lines, pattern color=black!50] (0,0) -- (0.9,0) -- (0.9,0.65) -- cycle; \draw[thick] (0,0) -- (0.9,0) -- (0.9,0.65) -- cycle; \node[below left, font=\scriptsize, inner sep=1pt] at (0,0) {$O$}; \node[below right, font=\scriptsize, inner sep=1pt] at (0.9,0) {$Q$}; \node[above, font=\scriptsize, inner sep=1pt] at (0.9,0.65) {$P$}; \node[circle, fill, inner sep=0.6pt] at (0,0) {}; \node[circle, fill, inner sep=0.6pt] at (0.9,0) {}; \node[circle, fill, inner sep=0.6pt] at (0.9,0.65) {}; \end{tikzpicture}}\right) - \left(\mathord{\vcenter{\hbox{ \begin{tikzpicture}[baseline={(0,-0.1)}, scale=0.85] \fill[pattern=north east lines, pattern color=black!50] (0,0) -- (0.7,0) arc[start angle=0, end angle=60, radius=0.7] -- cycle; \draw[thick] (0,0) -- (0.7,0) arc[start angle=0, end angle=60, radius=0.7] -- cycle; \node[below left, font=\scriptsize, inner sep=1pt] at (0,0) {$A$}; \node[below right, font=\scriptsize, inner sep=1pt] at (0.7,0) {$B$}; \node[above right, font=\scriptsize, inner sep=1pt] at (60:0.7) {$P$}; \node[circle, fill, inner sep=0.6pt] at (0,0) {}; \node[circle, fill, inner sep=0.6pt] at (0.7,0) {}; \node[circle, fill, inner sep=0.6pt] at (60:0.7) {}; \end{tikzpicture}}}} - \mathord{\vcenter{\hbox{ \begin{tikzpicture}[baseline={(0,-0.1)}, scale=0.85] \fill[pattern=north east lines, pattern color=black!50] (0,0) -- (0.35,0) -- (0.35,0.61) -- cycle; \draw[thick] (0,0) -- (0.35,0) -- (0.35,0.61) -- cycle; \node[below left, font=\scriptsize, inner sep=1pt] at (0,0) {$A$}; \node[below right, font=\scriptsize, inner sep=1pt] at (0.35,0) {$Q$}; \node[above, font=\scriptsize, inner sep=1pt] at (0.35,0.61) {$P$}; \node[circle, fill, inner sep=0.6pt] at (0,0) {}; \node[circle, fill, inner sep=0.6pt] at (0.35,0) {}; \node[circle, fill, inner sep=0.6pt] at (0.35,0.61) {}; \end{tikzpicture}}}}\right) \end{align}

である．以下各項を個別に計算しよう．

まず扇形は座標変換をすると接点はに変換されるから半径，偏角の扇形に変換される．この面積はだから元の扇形の面積は

\begin is only supported in math mode\begin{align} \left(\text{ \begin{tikzpicture}[baseline={(0,-0.1)}, scale=0.85] \fill[pattern=north east lines, pattern color=black!50] (0,0) -- (1.1,0) arc[start angle=0, end angle=45, radius=1.1] -- cycle; \draw[thick] (0,0) -- (1.1,0) arc[start angle=0, end angle=45, radius=1.1] -- cycle; \node[below left, font=\scriptsize, inner sep=1pt] at (0,0) {$O$}; \node[below right, font=\scriptsize, inner sep=1pt] at (1.1,0) {$C$}; \node[above right, font=\scriptsize, inner sep=1pt] at (45:1.1) {$P$}; \node[circle, fill, inner sep=0.6pt] at (0,0) {}; \node[circle, fill, inner sep=0.6pt] at (1.1,0) {}; \node[circle, fill, inner sep=0.6pt] at (45:1.1) {}; \end{tikzpicture}}\right) = b\dfrac{\pi}{8} = \dfrac{\sqrt{3}}{24}\pi \end{align}

となる．そのほかの部分は，まず二つの三角形の面積は

である．扇形はより偏角の扇形で，その面積は

\begin is only supported in math mode\begin{align} \left(\mathord{\vcenter{\hbox{ \begin{tikzpicture}[baseline={(0,-0.1)}, scale=0.85] \fill[pattern=north east lines, pattern color=black!50] (0,0) -- (0.7,0) arc[start angle=0, end angle=60, radius=0.7] -- cycle; \draw[thick] (0,0) -- (0.7,0) arc[start angle=0, end angle=60, radius=0.7] -- cycle; \node[below left, font=\scriptsize, inner sep=1pt] at (0,0) {$A$}; \node[below right, font=\scriptsize, inner sep=1pt] at (0.7,0) {$B$}; \node[above right, font=\scriptsize, inner sep=1pt] at (60:0.7) {$P$}; \node[circle, fill, inner sep=0.6pt] at (0,0) {}; \node[circle, fill, inner sep=0.6pt] at (0.7,0) {}; \node[circle, fill, inner sep=0.6pt] at (60:0.7) {}; \end{tikzpicture}}}}\right)&= \dfrac{1}{2}\dfrac{\pi}{3}a^2 \\&= \dfrac{1}{2}\dfrac{\pi}{3}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{3}\right)^2 \quad(\because\text{(式20)})\\&= \dfrac{\pi}{27} \end{align}

である．

以上(式36),(式37),(式38),(式41)を(式35)に代入しては

だから，求める面積は(式32)に代入して

である．

【別解】

(3)は極力通常の積分を避けて単純な扇形と三角形の面積のみで計算を実行した．比較のため通常の積分を用いるとどうなるかを示す．

の上半分は（），の上半分は（，はまでしか存在しない）．よっては

である．第二項はと置換するとより

である．ここでの原始関数は

だから代入して

である．各項個別に計算すると，，より

だから代入して

となって本解答と一致する．

この問題のOpen Issue（1件）

【解答】

(1)

すなわちの時（）

すなわちの時（）

すなわちの時（）

(2)

(3)

【別解】