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東京工業大学 前期 2009年 解答解説 このページの閲覧数
#整数 #方程式・不等式
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東京工業大学 前期 2009年 第3問 (解答解説)

📝 問題

を正の整数とする． 以下の正の整数，からなる組で， 方程式が以上の実数解をもつようなものは何組あるか．

✏️ 解答解説

【解答】

正の整数が

を満たすとする． とおく．が以上の実数解を持つ条件を考える． の軸はであり，(式1)よりこれはを満たす． 放物線は下に凸で軸が以下にあるから，「以上の実数解を持つ」ことと「」は同値である． よって条件は

である．(式1),(式2)を満たすの組を数えれば良い． これを平面上に図示すると，直線はで，でを通るので以下のようになる．境界はのみ含まない．との場合でそれぞれ場合分けして考える．

条件[(式1)](#eq:1),[(式2)](#eq:2)をみたす領域（斜線部，$N\ge3$の場合の概形）

図 1: 条件(式1),(式2)をみたす領域（斜線部，の場合の概形）

$N \ge 2$の時条件を満たす格子点

図 2: の時条件を満たす格子点

$N=1$ のときの条件を満たす格子点（$(n,m)=(2,1)$ の 1 個のみ）

図 3: のときの条件を満たす格子点（ の 1 個のみ）

の時

図から条件を満たすのはの時のみである． それぞれについて対応するの数を数えると，

  1. ：より，の通りが対応する．

  2. ：となりの上限が効くので，各列の通りが対応する．

よって，もとめる組の総数をとすると

である．

の時

この時は図よりのみが対応して

であり，(式3)の表現で良い．

以上より，すべての正の整数に対して，求める組の個数は

である．

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