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東京工業大学 前期 2008年 解答解説 このページの閲覧数
#場合の数・確率
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東京工業大学 前期 2008年 第3問 (解答解説)

📝 問題

いびつなサイコロがあり，1から6までのそれぞれの目が出る確率がとは限らないとする． このサイコロを2回ふったとき同じ目が出る確率をとし，1回目に奇数，2回目に偶数の目が出る確率をとする．

  1. であることを示せ． また，等号が成立するための必要十分条件を求めよ．

  2. であることを示せ．

✏️ 解答解説

【解答】

数（）の出る確率をとおくと全体の確率の和はだから

である．

(1)

サイコロを回ふったとき同じ目が出る確率は

である． コーシー・シュワルツの不等式より

式

であるから題意の不等式は示された． 等号成立は，コーシー・シュワルツの等号成立条件より全てのについてのときである．

(2)

1回目に奇数，2回目に偶数の目が出る確率は

である． と(式1)より，相加相乗平均の不等式を用いて

であるから，題意の左側の不等号は示された．

次に右側の不等号を考える． （）とおくと(式1)よりである． コーシー・シュワルツの不等式より

である．辺々加えて(1)のの定義を用いて

だから

である．よって右側の不等号が示された． 以上(式7),(式14)より

であって題意は示された．

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