東京工業大学前期 2007年第3問 (解答解説)

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【解答】

(1)

まず，面積が最大となるは3頂点を正八角形の頂点としてよいことを示す．を固定すると，の面積は $直線$ であり，がある辺（線分）上を動くとき $直線$ はの位置の1次式（アフィン関数）だから，最大値はその辺の端点（正八角形の頂点）のいずれかで実現する（辺が直線と平行なときは辺上で一定値をとり，端点でも同じ値になる）．よってを頂点としてよく，についても同様だから，3頂点はすべて正八角形の頂点としてよい．

正八角形（1辺の長さ1）の外接円の半径をとすると，より

3頂点を選ぶとき，隣接する頂点間の辺の本数を（，）とすると，中心角はそれぞれであり，円に内接する三角形の面積公式より

の組合せ（並べ替えを除く）はの5通りで，それぞれ

最大は型（例えば）で，

(1)で面積が最大となる配置の一例：$\triangle A_2A_5A_7$（$(2,3,3)$型） — 図 1: (1)で面積が最大となる配置の一例：（型）

(2)

対称性よりとしてよい．正八角形の内角はであり，なので，(1)と同様の議論（を固定するときの端点最大性）から，はに隣接する2辺（，）から最も離れた側の辺，具体的には辺と辺上にある場合に最大値の候補が現れる（他の配置はこれ以下になることが同様の議論で確かめられる）．

を原点，となるように座標を取ると，正八角形の頂点は

は辺（）上，は辺（）上だから

(2)の配置：$Q=A_1$固定，$P\in A_7A_8$，$R\in A_3A_4$，$\angle PQR=90^\circ$ — 図 2: (2)の配置：固定，，，

はと同値：

①

が原点だから，三角形の面積公式より

（より絶対値ははずせる）．①よりを代入すると

はで下に凸であり，停留点は（区間の左端）にあるので，はこの区間上単調増加．よって（右端，このとき①より）で最大となり，

（を他の頂点にとる配置や，例えばを頂点に固定する配置では最大値はにとどまることが確かめられ，これより小さい．）よって

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【解答】

(1)

(2)