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東京工業大学 前期 2007年 解答解説 このページの閲覧数
#整数
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東京工業大学 前期 2007年 第1問 (解答解説)

📝 問題

を素数，を0以上の整数とする．

  1. は整数でとする． 1からまでの整数の中で，で割り切れで割り切れないものの個数を求めよ．

  2. 1からまでの2つの整数，に対し，その積がで割り切れるような組の個数を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

からまでの整数のうちで割り切れるものは個，で割り切れるものは個だから求める個数は

個である．

(2)

がで割り切れで割り切れないとする．許されるは

である． この時積がで割り切れるための条件は，がで割り切れることである． の時は(1)の結果が使えるから，以下場合分けする．

の時

(1)よりの選び方は通りである． 各に対し，からの中でで割り切れるは個ある． よって組の個数は

である．これはによらず一定である．

の時

この時はの通りのみである．は任意だから通りある． よって組の個数は

である．

以上から，求める組の個数は

である．

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