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東京工業大学 前期 2007年 解答解説 このページの閲覧数
#微分 #積分 #数列
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東京工業大学 前期 2007年 第4問 (解答解説)

📝 問題

  1. 整数と正数に対して

    とおく． 2つの曲線とが接するようなを求めよ．

  2. は(1)で定めたものとする． ，と軸で囲まれる図形の面積を， に対し，とで囲まれる図形の面積をとおく． このときを求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

与えられた関数

について考える．一階微分は

である．

とがで接するとすると，これら二曲線の座標と一階微分が同じである．従って

である．を消去すると

で両辺わって

である．さらに新しく

とおくと，

である．

さてここで，より(式4)の第一式から

である．

これをみたすのは(式10)のうち複合正ののみだから(式7)より

である．

(式4)の第二式に代入して

式

である．

(2)

簡単のため

とおくと(式20)より

である．

$S_0$：$y=f_0(x)$，$y=e^{-x}$と$y$軸で囲まれる部分

図 1: ：，と軸で囲まれる部分

一般の $n$ に対する領域 $S_n$（斜線部）と曲線 $y=e^{-x}, y=f_{n-1}(x), y=f_n(x)$

図 2: 一般の に対する領域 （斜線部）と曲線

面積の和 $T_n = \sum_{k=0}^n S_k$（斜線部）と終端 $\alpha_n$ における接点

図 3: 面積の和 （斜線部）と終端 における接点

とおくと，図よりこの面積はの積分から各放物線の区間での積分を差し引いていったものである． 従って，端点の処理だけ注意すれば

と書ける．

各項を計算する．まず第一項は

である．

第二項には公式を用いて

である．

最後に第三項はと置換すると

である．

以上(式24),(式27),(式30)を(式23)に代入して

を得る．

さて，のときを考えよう．まずよりであって，ついで(式14)から，また(式20)よりである． または(式14)よりによらない定数である． 以上から(式31)の極限をとると

である．(式21)を代入して

である．

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