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東京工業大学 前期 2005年 解答解説 このページの閲覧数
#空間図形 #積分
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東京工業大学 前期 2005年 第3問 (解答解説)

📝 問題

を半径1の円盤，を平面の原点を中心とする半径1の円周とする． がつぎの条件(a)，(b)を共に満たしながら空間内を動くとき，が通過する部分の体積を求めよ．

  1. (a)　の中心は上にある．

  2. (b)　が乗っている平面は常にベクトルと直交する．

✏️ 解答解説

【解答】

の方程式は

である．題意の1よりの中心は上にあるから，（）とかける． 題意の2よりのある平面は常にすなわち軸と直交するので常に上にあり，方程式は

と書ける．を動かした時に(式2)の動く領域の体積を求めれば良い． この図形はを軸に対称だから，以下の領域のみ考え，その体積を二倍すればが求まる．

立体 $S$ の構成：$xy$ 平面上の円 $C$ に中心をもち $y$ 軸に直交する単位円板 $D$

図 1: 立体 の構成： 平面上の円 に中心をもち 軸に直交する単位円板

そこでを断面で切った時を考える．よりを満たすに対して(式2)で対応するのはの時で，断面は下図のように二つの円の内側（斜線部）になる．対称性よりで考えれば良い．

断面 $y=k$（$k=\sin\theta$）における断面積 $V(\theta)$

図 2: 断面 （）における断面積

この部分の面積とすると，これは二つの円の合計の面積から共通部分の面積を引いたもので

である．

共通部分の面積計算

図 3: 共通部分の面積計算

（として）と置換すると，，（）だから

である．

したがって求める体積は(式7)をで積分した上で倍したもので

である． 以下各項を計算すると

だから(式8)に代入して

が求める体積である．

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