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東京工業大学 前期 2005年 解答解説 このページの閲覧数
#積分 #数列
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東京工業大学 前期 2005年 第1問 (解答解説)

📝 問題

を自然対数の底とし，数列を次式で定義する．

  1. のとき，次の漸化式を示せ．

  2. に対しなることを示せ．

  3. のとき，以下の不等式が成立することを示せ．

✏️ 解答解説

【解答】

自然数に対して与えられた数列

について考える．

(1)

とする．

とみなして部分積分を用いると

となり，題意は示された．

(2)

ではだから

だから，同区間で積分して

である．ただし，(式6)の等号は全てので成立するわけではないので積分した(式7)では等号は除去した．

(3)

とする．(1)でと置き換えると，

である．ここで(2)から右辺は

と上から評価できるから(式8)に代入して

だからについて繰り返し用いて

である．

また，は部分積分によって

と求まるから，(式13)に代入して

である．よって題意は示された．

【解説】

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