東京工業大学 前期 2004年 第1問 (解答解説)

【解答】

題意より

の元で考える．

(1)

与えられた関数はで正であるから両辺自然対数をとると

だから，この両辺をで微分して

となる．ではだから，の符号はの符号と一致する． 従っての増減表は以下の通りである．

すなわち，はで単調減少，で単調増加し，で最小値をとる．

(2)

与えられた関数

の一階微分は

である．

が軸に平行な直線と3点で交わるためには，なるででかつこの前後でが符号を変えるようなものが少なくともつあることが必要である．そこでの符号を考えるため(式5)を変形すると

となり，におけるこの符号は

と等しい．(1)の結果よりは極小値を一つだけ持ち，その値は

だからかつ前後でが符号を変えるが少なくとも二つある条件はこれよりが大きいことで

である．

この時グラフより，従っては2解（）を持ち，の増減表は以下のようになる．

，だから，のグラフは，から（極小）まで減少，（極大）まで増加，その後に向かって減少する形になる．この時，をみたすに対し，直線はのグラフとちょうど3点で交わるから条件は十分である．

以上から，もとめる必要十分条件は(式10)で，

となる．