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東京工業大学 前期 2004年 解答解説 このページの閲覧数
#空間図形 #積分
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東京工業大学 前期 2004年 第4問 (解答解説)

📝 問題

とする． 空間において，点を中心とする半径の球と点を中心とする半径の球との共通部分の体積をとする． 次の問いに答えよ．

  1. を求めよ．

  2. がの範囲を動くとき，を最大にするの値およびの最大値を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

題意の二つの球の方程式は

である．辺々引くと

だからこれが交面である．

$xy$ 平面における2つの円 $C_1, C_2$ と共通部分および交線 $x=r^2$

図 1: 平面における2つの円 と共通部分および交線

(1)

共通部分の立体は，球のの部分と，球のの部分の和である．球を単位球に正規化した時の対応する球欠の体積（倍する前）をとすると，スケーリングにより

である．

単位球に正規化したときの球欠 $V_1$（区間 $[r, 1]$）と $V_2$（区間 $[\sqrt{1-r^2}, 1]$）の比較

図 2: 単位球に正規化したときの球欠 （区間 ）と （区間 ）の比較

球の交面は正規化するとに対応するので

である．

同様に球の交面は中心原点で正規化するとに対応するので(式6)と同じ形で

である．

(式6),(式7)を(式3)に代入して

である．

(2)

の挙動を調べるため一階微分を計算すると

である． ではだから，とおくと，の符号はの符号に等しい．この符号について

この右辺はで正だから両辺二乗してよく，整理を続けて

を得る．従っての増減表は以下のようになる．

表 1: の増減表

よってはで最大値をとる．(式10)に代入してこの時の最大値は だから

である．

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