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東京工業大学 前期 2003年 解答解説 このページの閲覧数
#微分 #数列
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東京工業大学 前期 2003年 第4問 (解答解説)

📝 問題

関数 を次の漸化式により定める．

ただし，はの第次導関数を表す．

  1. は次多項式であることを示し，の係数を求めよ．

  2. ，，，を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

与えられた漸化式

について考える．

(1)

が次多項式であり，そのの係数はとかけることを帰納的に示す．

の時はで成立するので，以下での成立を仮定する． (式1)からの最高次は第二項からの寄与だからまず次数については成立する．係数については

だが，仮定からだから

となり成立する．

以上から数学的帰納法により題意は示された．求めるべき係数は

である．

(2)

はの定数項だから

の係数

である．そこで，の次の係数をとおく． (式1)よりだから

である．

(式1)でから次までの部分を考えると

だから係数を比較して

なる漸化式を得る．(式6)と合わせて，まず

である．これを(式8)に代入してについて

だから(式6)よりと合わせて

である．これを(式8)に代入してについて

だから(式6)よりと合わせて

である．(式9),(式11),(式13)をまとめて

である．

従って(式5)より求める値は

である．

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