東京工業大学前期 2003年第2問 (解答解説)

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【解答】

回目の操作後の図形をとおく．の辺の比をとする．の時回目までの操作を書き下すと下図のようになる．

従って回目でちょうど終わるのはこれらつのパターンについてとなる場合で，

である．これを解いて求めるは

である．

が最大，最小になる場合をそれぞれ考える．

が最大になるのは常に長さの辺に沿って正方形を取り除き続ける場合（が整数の場合）で，と回で終わる．これが回になるのは，すなわち

である．

が最小になるのは，回目の操作での辺から，回目以降の操作での辺から取り続ける場合である．この時回目の操作後の辺の長さの比は

で，これがに等しいから

である．

以上をまとめて回の操作で終わるの最大値は，最小値はである．

縦横比（）の長方形から正方形を切り取る操作は，2辺の長さ（）に対し，からを繰り返し引き（の倍数を引ききって）残りが未満になったところで止める，という減法の互除法（連分数展開）そのものである．