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東京工業大学 前期 2003年 解答解説 このページの閲覧数
#ベクトル #平面図形
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東京工業大学 前期 2003年 第3問 (解答解説)

📝 問題

において，辺の中点を，辺の中点をとする． 辺を の比に内分する点と，辺を の比に内分する点をとり， 線分と線分の交点をとする． このとき，がに含まれるような全体を平面に図示し，その面積を求めよ． (ただし，辺，辺をの比に内分する点とは，ともに点のこととする．)

✏️ 解答解説

【解答】

$\triangle ABC$ 内における点 $P, Q$ と交点 $R$，および条件となる領域 $\triangle AMN$

図 1: 内における点 と交点 ，および条件となる領域

点に対してベクトルと表す． はをに，はをに，それぞれ内分するから

である．は線分の上の点だからなる実数を用いて(式1)を代入して

と書ける．同様には線分の上の点でもあるからなる実数を用いて(式1)を代入して

と書ける． は一次独立で，かつ(式3),(式5)が等しいので 係数を比較して

であり，(式3)に代入して

である．

より，これがの内側にある条件は係数の和が以下であることで

である．より両辺にかけて整理して

である．これとを合わせて図示すると下図の斜線部（境界含む）である．

条件を満たす領域（斜線部・境界含む）

図 2: 条件を満たす領域（斜線部・境界含む）

以下この領域の面積を求める．領域の方程式は

だから求める面積は

である．

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