東京工業大学 前期 2004年 第3問 (解答解説)

【解答】

コインの表の出る確率をとする．各回で，まずを投げ，表（確率）ならを，裏（確率）ならを選び，選んだコインの表（なら確率，なら確率）で赤玉，裏で白玉を入れる．したがって1回の試行で

となる．

(1)

回ともを選んでそのうち回赤（回白）となる確率は，どの回が赤かを選ぶ場合の数を用いて

である．

(2)

回とも赤玉が出る確率を求める． 回が「・赤」，残り回が「・赤」となる確率は

であり，これをについて足せば良いから，二項定理から

である．

(3)

まず，回の試行の結果赤玉がちょうど個になる確率をとおき，これを求める． このような確率は以下の要素の掛け算で求められる．

1. 回のうち，どの回で赤玉を引くか

2. 赤玉回のうち，どの回が「選択・赤」でどの回が「選択・赤」か

3. 白玉回のうち，どの回が「選択・白」でどの回が「選択・白」か

従っては

であり，(2)と同様に二項定理を用いて

となる． ここに与えられた条件，を代入する．

だから(式9)に代入して

を得る．

以下(式13)を最大にするを求めれば良い．に対して比を計算すると

となる．に注意して，を代入してこれが以上となる条件を考えると

である．

したがって整数について，で（），で（）となるからたちの大小関係は

となり，はで最大となる．すなわち，もっとも起こりやすいのは赤玉が701個の時である．