東京工業大学 前期 2004年 第2問 (解答解説)

【解答】

(1)

与えられた方程式の左辺を，右辺をとおく：

さらに自然数に対して左辺で積分区間をに絞ったものをとおく：

(式2)においてと置換すると

，であり，は偶関数だから

となりこれがによらず一定である． について足すと

となり，である．よって題意は示された．

(2)

新しく

とおくと被積分関数は偶関数である．でだから分子の絶対値ははずせて

である．

よって題意の不等式を左辺から順にとおくと

である．

(1)で，（ともに偶関数）とすると，積分区間を, として

である．

また，(式8)のにおいてと置換積分して

である．

さて，ここで新しい関数

を考えると，だからは正かつについて単調増加である． (式8),(式10),(式11)よりをで表すと

であるが，ここで題意より

およびの単調増加性より

だから(式13)を大小で並べると

である．よって題意は示された．

(3)

まずを具体的に求めよう．と置換すると

となる．さらにとおくと ，，だから

である．

(2)で得られた不等式において の時，からでもあり， (2)の両辺はでよりともにに収束する．

これと(式26)およびはさみうちの定理から求める極限値は

である．