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東京工業大学 前期 2003年 解答解説 このページの閲覧数
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東京工業大学 前期 2003年 第1問 (解答解説)

📝 問題

  1. 3次関数 のグラフをとする． 原点を通る直線で，とちょうど2点を共有するものを2本求めよ．

  2. (1)で求めた直線のうち，傾きの大きい方を，小さい方をとする． とが囲む部分の面積を，とが囲む部分の面積をとおく． この二つの面積の比を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

3次曲線 $C$ と2本の接線 $\ell_1, \ell_2$ および囲まれる面積 $S_1, S_2$

図 1: 3次曲線 と2本の接線 および囲まれる面積

題意の三次関数を

とする．原点を通る直線を

とおいて，これがと2点を共有するとする． すると(式1),(式2)を連立したの方程式がちょうど二つの異なる実数解を持つ：

これはを必ず解を持つので，残りの二次方程式

がとに解を持つか，あるいはに重解を持つかのいずれかである．

がを解に持つ時：

(式6)にを代入して

である．これを(式6)に代入して

である．ここで(式1)よりだから(式5)の全体の解は（は重解）となりちょうど2点を共有する．

がに重解を持つ時：

まず(式6)の判別式がであるから

である．この時の重解は（）である． よって(式5)の解は（が重解）となりちょうど2点を共有する．

以上から，もとめる2本の直線は

である．

(2)

（）だから，傾きの大きい方は

であり，小さい方は

である．を図示すると下図の斜線部となる．

との交点は（重解，接点）とだから二つの関数の差は

であり，で符号は正で一定だからは

である．

同様にとの交点はと（重解，接点）だから二つの関数の差は

であり，で符号は正で一定だからは

である．

したがって(式18),(式23)から求める面積の比は

である．

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