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東京工業大学 前期 2002年 解答解説 このページの閲覧数
#積分 #三角関数
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東京工業大学 前期 2002年 第1問 (解答解説)

📝 問題

実数に対し,積分

を考える.の最小値を求めよ.

✏️ 解答解説

【解答】

被積分関数の絶対値の中身を

とおくと一階微分は

である. これはではの正負に応じて以下のように挙動が変わる.

  1. の時 この時はでは非負.

  2. の時 この時はでは単調増加.であるからが以上か否かで構造が変わる.

従って,はの値によって以下のように場合分けできる.

区間 $\left[0, \dfrac{\pi}{4}\right]$ における $g(x)=\sin x - a\cos x$ の $a$ による場合分け

図 1: 区間 における の による場合分け

の時

この時はだから絶対値をはずせて

で,これはの単調減少関数である.

の時

この時はだからである. 従って絶対値をはずせて

だから,これはの単調増加関数である.

の時

以上より,はその最小値をでとる. であることとが単調増加であることから, なるがただ1つ存在する. 従って絶対値を外すと

である.ただしここで

はの原始関数の一つである.を代入すると

である.これを(式8)に代入して

である.

また,およびより

である.これを(式11)に代入してをの関数とみると

である.最小値を求めるため一階微分を計算すると

となる.

これはなる点で符号がからに変わるので,増減表は以下のようになる.

表 1: の増減表

従ってでは最小である.この時(式12)の範囲にも注意して

だから(式13)に代入して求める最小値は

である.

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