東京工業大学 前期 2002年 第2問 (解答解説)

【解答】

楕円の外部の点を考える．

楕円の接線のうち軸並行なものはのみである．この時直交する接線はである．この時である．そこで以下で考える．

この時から引いた接線は軸に平行にならず，傾きを持つので

とおける．は楕円の外部だから

を満たす． なる変換を行うと楕円はに接線は

に移る．これらは座標変換後も接するから円の中心からまでの距離がであればよく

となる．両辺正より2乗して

を得る． だから(式6)はの2次方程式で，判別式とすると

となってだから(式6)は必ず二つの異なる実数解をもち，これらが2本の接線の傾きである．

2接線が直交する条件はで，解と係数の関係から

である．

ここでの場合の点も(式11)を満たす．さらに(式11)をみたす点は自動的に(式2)をみたす．

以上から，もとめる軌跡は円

である．