【解答】
動点は原点を出発し，では最大秒速，では最大秒速で動ける（）．求める領域は軸のまわりに回転対称だから，平面（）内での断面を求め，それを軸のまわりに回転すれば良い．そこで以下について考える．に関する対称性からについて考えれば良い．
まずのとき，原点からの点へは，そこへ向かう直線が常に内にあるから，速さで直進するのが最適で秒で到達できるのは半径の円内である．よってこの部分は
である．
図 1: 点 へ到達する経路（ 軸上を時間 進んだ後，残り時間 で直進）
そこで以下の部分について考える．点（）へ到達する方法としては，時刻（）まで軸の正方向へ速さで進み点に達し，そこから残り時間で速さでまっすぐへ向かうという進み方が最速である．これでに到達できる条件はあるに対して
が満たされることである．この左辺をとおくと，だからは下に凸な2次関数である．が到達可能である条件はをみたすが存在すること，すなわち上でのの最小値が以下であることである．
端点での値は(式3)より
であり，また軸の位置は
であり，これはよりを満たす．
従ってを満たすが存在するかどうかについて以下のように軸の位置で場合分けできる．
の時：
図 2: 軸 の位置による の最小値の分類
はで単調増加だから，条件は
である．
の時：
図 3: 軸 の位置による の最小値の分類
この時の条件はの判別式としてであり，
である．から第2因子はだからこの条件は
である．
以上から求める範囲のうちの部分はの時(式1)，の時は(式6),(式8)つまり
である．軸に関する対称性より，これを軸に折り返したものがであり，図示すると下図斜線部である．
図 4: 平面における到達可能な領域 と体積計算の分割（A, B, C）
以下これを軸周りに回転した領域の体積を求めよう．
をの範囲で分割して（A），（B），（C）の三つの領域に分けて計算する．
A ：
この領域は半径の半球であって，その体積は
である．
B
この領域は円錐台である．すなわち底円半径，高さの円錐から，底円半径，高さの円錐を引いたもので，体積は
C
この領域は半径の球の一部を切り取ったもので，その体積は
である．
以上(式10),(式11),(式14)より求める体積は
である．
【解説】
解答中では逆手流でを消したが，(式3)以下順手流でやるとどうなるかを簡単に示す．
(式3)より
だから，右辺をの二次関数と見ての値域を求めれば良い．よって
これは解答中で求めた領域と同じだ．
