東京工業大学 前期 2001年 第1問 (解答解説)

【解答】

与えられた定積分

について考える．被積分関数はと直線の差として図形的に理解できる． はでからまで単調減少することに注意すると，グラフは以下のようになる．

(1)

においてだから，とこの大小関係によって以下のように場合分けする．

さては明らかに連続だから，以上の場合分けを踏まえて（）の範囲で最小値をとる． この範囲では，

をみたすがただ1つ存在してで，でだからは

と書ける．(式4)よりに注意して(式5)からを消去すると

である．以下を固定した時のの最小値を求めよう． で微分して

である．従って増減表は以下のようになる．

従ってはで最小値をとるから(式6)に代入して

である．

(2)

簡単のため

とおくとでであって

となる．ここでの微分を考えると （）だから求める極限値は

である．