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東京工業大学 前期 2000年 解答解説 このページの閲覧数
#平面図形 #三角関数
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東京工業大学 前期 2000年 第1問 (解答解説)

📝 問題

平面において半円：， の内側が鏡になっているとする． 図のように，定点 より 軸となす角 で光線が発射され，2回半円に反射したのち， 軸上の点 を通過したとする．

図 1

図 1

  1. このような状況が起こるための の範囲を求めよ．

  2. の座標を を用いて表せ．

  3. が (1) の範囲を動くときの の動く範囲を求めよ．

✏️ 解答解説
【自動文字起こし・要確認】

【解答】

反射光が半円の中心を中心とする単位円周上を進む様子を考える．から出発し，回目の反射点をとする．円の反射では入射角と反射角（半径となす角）が等しいことから，各反射点の間で弧の中心角は常に一定値ずつ進む．従って

である．

反射の角度関係（$\angle OAQ_1 = \angle AQ_1O = \theta$）と光の経路

図 1: 反射の角度関係（）と光の経路

(1)

2回目の反射（）が起こりかつ3回目の反射（）が起こらない条件を求める． これはすなわちが上半円周上にあり，が下半円上にあれば良いから

である．ここに(式1)を代入して求めるの条件は

である．

(2)

正弦定理を適用する $\triangle Q_2OP$ の様子

図 2: 正弦定理を適用する の様子

(式1)よりである．そこで三角形に正弦定理を用いて

である．は負の軸上だから求める座標は

である．

(3)

の座標を

とおいてこの動く範囲を求めれば良い．まずはをで書き直そう． 以下簡単のため と書く．加法定理，三倍角公式，倍角公式より

である．

(式3)の範囲ではだから(式8)に代入して

である． 新しくとおくと，では単調増加での範囲は

である．(式10)でをで書き直すと

である．

$y = g(t) = 16t^2 - 20t + 5$ のグラフと範囲 $\dfrac{1}{2} < t < \dfrac{3}{4}$ における値域

図 3: のグラフと範囲 における値域

のグラフから(式11)では

だから

である．従っての動く範囲は軸上の

（）である．図示すると下図太線部（境界は太丸は含んで白丸は含まない）である．

点 $P$ の動く範囲（$-1 < x \le -\dfrac{4}{5}, y=0$）

図 4: 点 の動く範囲（）

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