東京工業大学前期 1999年第1問 (解答解説)

【解答】

で考える．（）とおいてとしてこの符号を調べることでの大小関係を調べる．題意より

であり，よりこの符号は

の符号に等しい．そこで以下の振る舞いを調べよう．一階微分は

であるから，の値に応じて以下のようになる．

だからはで単調減少である．ではだからだからで，ではだからとなる．またでである．従って増減表は以下のようになる．ただし

である．

表 1: の増減表

従ってすなわちである．等号が成立するのはつまりの時である．

この時はの表式から明らかにである．

だからは単調増加で，と逆にでよりよりで，ではとなる．よって増減表は以下のようになる．

表 2: の増減表

従ってすなわちで，等号成立はつまりの時である．

以上をまとめて，

ま た は の 時 か つ の 時 か つ の 時

である．