東京工業大学 前期 1999年 第2問 (解答解説)

【解答】

(1)

から底面へ下ろした垂線の足を（正角形の中心）として（）とおく．

正角錐の体積をとする．対称性から，

である．さらに三角錐は高さが，底面が三角形だから

である．各項順番に求めよう．

まずについて考える．はが直角で斜辺で下図である．

よってピタゴラスの定理より

である．

次に について， で，二等辺三角形（）の面積は

である．

以上(式3),(式4)を(式2)に代入して

である． をで最大化するようなものがであり，その時のがに等しい． とおくとだから，が最大になるときに(式5)のも最大である． 一階微分はだから増減表は以下のようになる．

従っては すなわち で最大値をとる． この時

だから(式5)に代入して求めるは

である．

(2)

の時

だから(式7)に代入して

である．