東京工業大学前期 1998年第2問 (解答解説)

【解答】

題意から

の元で考える．長方形の4頂点を，，，とする（，）．円は性質(P)から2辺に接するとしてよく，半径をとすると中心はである．円が長方形内に納まるので

が必要である．

長方形 $WXYZ$ と円 $A$，および外接円 $C_k$ の中心座標 — 図 1: 長方形と円，および外接円の中心座標

(1)

円に外接する性質(P)の円は，対称性から次の4つで尽くされる：

頂点で2辺に接する円（半径，中心）
頂点で2辺に接する円（半径，中心）
頂点で2辺に接する円（半径，中心）
頂点で円と同じ2辺に接し，より角寄りにある円（半径，中心）

このうちは自明に存在するから，残りのの存在条件について調べれば良い．これらの円は長方形の内部に納まるから，(式2)と同様の条件

を満たす．

さらにそれぞれの円がと外接するから，円の中心間の距離がちょうど円の半径の和に等しいから

である．

長方形 $WXYZ$ 内の円 $A$ と $C_2$ の中心座標（軸投影）と中心間距離 $x+r_2$（例） — 図 2: 長方形内の円との中心座標（軸投影）と中心間距離（例）

まず(式4)で左辺第一項と右辺を展開して

であるが，より複合正が正しく，

である．全く同様に(式6)も解けて

である．

最後に(式5)はについてまとめると

である．(式2),(式3)よりだから複合負が正しく，

だが，(式1)よりこれは常にの範囲にあるからの値によらずは常に存在する．

以上から(式10),(式11)が(式3)を満たすようなの範囲を求めれば良い． (式10),(式11)を(式3)に代入して

だが，(式1),(式2)より厳しい方の条件を採用して

である．

(2)

まずはの内でどれがに該当するかを見るため，半径の比較を行う． (1)で計算しなかったについてと同様に考えると

だが，このうち(式3)を満たすのは複合負の方で

である．以上(式10),(式11),(式15),(式22)をまとめると

だから，以下これらの大小を比較しよう．

まず，について

よりこれをの関数とみなすと(式2)の範囲では単調減少で，端点で値がだから区間内でこの値も正である．従って

である．

次にとは

より

である．

ついでとは

より

である．

以上(式29),(式34),(式39)より

となり，二番目に半径が大きいのはだからである．

よって円と円の面積の和は(式23)より

である．とおくと

だから微分して

ここでの因数分解を用いて

である．第二項は正だからの増減表は以下のようになる．

表 1: の増減表

よっての時，すなわちでは最小となり，この時(式23)より

だから(式42)に代入して求める面積の最小値は

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【解答】

(1)

(2)