東京工業大学 前期 1998年 第3問 (解答解説)

【解答】

与えられた漸化式

について考える．

(1)

(式1)より

が帰納的に全ての非負整数に対して定義できるための条件は全てのに対して

であることである．

以下，数学的帰納法により，非負整数に対して

であることを示す．

まずの時，(式1)よりだから(式4)でとして

となり成立する．

そこで，での成立を仮定してでの成立を示す．

の場合を考えると，によってに対して以下のように漸化式を定義し直す：

と，であり，この数列に対して仮定が使えて

である．に(式9)を代入して

となって，(式4)はでも成立する．

以上より数学的帰納法により求める条件は

である．

(2)

被積分関数を

とおく．(式1)よりだからの漸化式は

であり，初項は

となる．

以下，

となることを数学的帰納法で示す．(式18)よりでは成立するから， 以下での成立を仮定してでの成立を示す．(式17)より

となり，でも成立する．以上から全てのに対して(式19)である．

に対して与えられた定積分をとおく：

(式19)を代入して

を得る．

この極限値はかいなかで場合分けして

である．

以上をまとめて求める極限値は

である．