東京工業大学前期 1999年第3問 (解答解説)

【解答】

を，（），，とする．周上の2点を結ぶ線分がの面積を2等分するとき，の位置は対称性から次の2通りに帰着できる．

（）とおく．がの面積の半分の時，

①

に余弦定理を用いて

後者から，これと①を前者に代入して

②

（①よりを用いた．）①，のもとでを最小化する．相加相乗平均から，等号はの時．①とあわせて（をみたす）で最小値をとる．②より

（上の場合も対称性から同じ結論になる）

（），（）とおく．が半分の面積の時，の面積がであることから

④

に余弦定理を用いて

後者から，④とあわせて

⑤

④，のもとでを最小化する．相加相乗平均から，等号はの時．この点が制約をみたすには（，常に成立）かつ（）が必要．

⑤とあわせて

比較のとを比較する．では．では

であり，で（が小さい），で（が小さい），で等しい．以上より，どちらの場合もでは（）が，では（）が全体の最小値を与える．したがって，もとめる線分の最小値は