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東京工業大学 前期 1999年 解答解説 このページの閲覧数
#複素数平面 #数列 #極限
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東京工業大学 前期 1999年 第5問 (解答解説)

📝 問題

複素平面上の点列 が複素数列(，は実数，は虚数単位)を表すとする． 極限値，がともに存在するとき， 複素数を表す点をの極限点ということにする． このとき次の問いに答えよ．

  1. 複素平面上の点列 を次のように定める．

    は0を表す点とし，はを表す点とする．

    以下に対しては，ベクトルを反時計まわりに回転し， 長さを倍したベクトルがとなるようにを定める． の極限点が表す複素数を求めよ．

  2. 点列 は次のように定める．

    は0を表す点とし，はを表す点とする．

    以下に対しては，ベクトルを反時計まわりに回転し， 長さを倍したベクトルがとなるようにを定める． の極限点と(1)のが一致するときを求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

実数に対してとおく．

(1)

初期条件は

である．を表す複素数をとすると(式1)から

および題意から

である． 漸化式を繰り返し用いて

である．

従ってへのベクトルは

と書ける．

ここでだからではであって，

となる．ここでよりだから

となる．

(2)

初期条件は

である． (1)と同様にを表す複素数をとすると(式13)および題意の条件から

である．従って漸化式を繰り返し用いて一般項は

である．従ってへのベクトルは

だからへの極限では

となる．

ここでよりだから

である．

に(式12),(式19)を代入して

である．以下右辺を綺麗化すると

である．

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