東京工業大学 前期 1999年 第4問 (解答解説)

【解答】

数列

とおくと題意の関係式は

である．以下に対して(式2)を数学的帰納法で示す．

の時は(式1)より

だからとなり(式2)はで成立する．

そこで以下での(式2)の成立を仮定してでの成立を示す．部分積分を2回用いてを変形すると

である．

次にについて，順列の定義からであり，

だから

となる． 和をの項（）と残り（）に分けて，

とかける．

(式8),(式11)から

となり，でも(式2)が成立する．

以上から数学的帰納法により(式2)は全てので成立する．

【別解】

解答では帰納法を利用したが，もっと直接的に数列の一般項を求めることもできるのでその方法も紹介する． というのも，実は(式8)からの一般項を求められるからだ．(式8)の両辺をで割ってをで書き直すと

だからこれをと繰り返し用いて

である． ここでは

だから代入して

である． (式17)と(式2)を比較すると

であれば題意は示されるから以下これを示す．

だから

となり，(式18)と一致する．よって示された．