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東京工業大学 前期 2000年 解答解説 このページの閲覧数
#指数・対数 #積分 #極限
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東京工業大学 前期 2000年 第4問 (解答解説)

📝 問題

は2以上の自然数とする．関数(ア)，(イ)について以下の問いに答えよ．

  1. (ア)と(イ)のグラフは第1象限においてただひとつの交点を持つことを示せ．

  2. (1)で得られた交点の座標をとしたとき とを求めよ．

  3. 第1象限内で(ア)と(イ)のグラフおよび軸で囲まれた部分の面積をとおく． このときを求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

二つの関数の差分を

とおく．

(1)

(ア)と(イ)の交点の座標は方程式の解で与えられるから，の挙動について調べる． 一階微分は

である．ではだから，よりである． 従ってであり，増減表は以下のようになる．

表 1: の増減表

これと(式1)よりおよびからはにただ1つの実解を持つ． したがって(ア)，(イ)は第1象限にただ1つの交点を持つ．

$f_n(x) = e^{nx} - 1 - e^x$ の概形

図 1: の概形

(2)

(1)の交点をとおくと(1)より

である．

まずの極限値から考えよう．の時のの値は

であり，よりだからであることを用いて

である． ここでより，まただから右辺は下から評価できて

である．(1)よりではは単調増加だからで，(式3)と合わせて

である．右辺はでに収束するからはさみうちの定理から

である．

$f_n(x)$と$a_n,\dfrac{1}{n}$の関係

図 2: との関係

次にの極限値を考える．に(式1)を代入して

である．両辺正だから自然対数をとって

である．両辺のの極限をとって右辺に(式9)を用いると

である．

(式9),(式12)をまとめて

である．

(3)

曲線 (ア) $y=e^{nx}-1$ と (イ) $y=e^x$ の交点$(a_n,b_n)$および囲まれる領域 $S_n$

図 3: 曲線 (ア) と (イ) の交点および囲まれる領域

ではつまりである．よってこの区間では(ア)が(イ)より上にある． 従って求める面積は

と書けるから，両辺にをかけて

である． の時の各項の振る舞いを考えると(式13)より

だから(式16)に代入して

である．

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