東京工業大学 前期 2000年 第3問 (解答解説)

【解答】

三角柱の底面（正三角形，1辺1）を，対応する上面を（，各々垂直な辺）とする． 断面の直角三角形の頂点は辺上に1つずつあり，対称性からそのうちの1つが（底面の頂点）に一致する場合を考えれば良い． ，が辺上，が辺上にあるとし，

とおく，この様子を下図に示す．

は高さ，は高さ，は高さにあり，間の水平距離はいずれもだから三角形PQRの各辺の長さは

である． ピタゴラスの定理からは

を満たす．

さて，(式1)よりが最大辺だから，直角三角形においてが斜辺，すなわち直角はである． 従っての面積は

である．(式1),(式6)の元で(式7)のとりうる範囲を求めれば良い．

とおくと(式1)よりであって，(式1),(式6)からは2次方程式

の2つの正の実解であり，が存在するためには判別式が非負であればよくと合わせて

がの条件である．

(式7)をで表すと，(式6)に注意して

である． これはで単調増加だから(式9)よりで最小，で最大であって

したがって，もとめる面積の範囲は

である．