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東京工業大学 前期 2000年 解答解説 このページの閲覧数
#複素数平面 #方程式・不等式
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東京工業大学 前期 2000年 第2問 (解答解説)

📝 問題

  1. 極座標表示された複素数がを 満たすための必要十分条件をとを用いて表せ．

  2. を自然数とするとき，を，，を用いて表せ．

  3. 複素数がを満たすならば， すべての自然数に対しが成り立つことを示せ．

✏️ 解答解説

【解答】

簡単のためと書く．

(1)

(1) 題意の条件を満たす複素数 $z$ の領域（斜線部・境界を除く）

図 1: (1) 題意の条件を満たす複素数 の領域（斜線部・境界を除く）

題意の条件をであらわすと

両辺

である． だから，これはかつと同値である． すなわち

かつ

が求める条件である．

(2)

とおく． (1)よりであるから以下この元で考える． 等比数列の公式から

だから，与式は

である．

分母分子にを代入すると

であるから(式4)に代入して

である．

(3)

示すべき条件は二乗したと同値で，ここに(式6)を代入すると

ここで(2)の導出の過程から左辺の分母はと等しくてよって正である．両辺にこれをかけて

である． 両辺をで割って，示すべき式は

であるから以下これを示す．左辺をとする． (式2)よりだから第四項を上から評価して

さらにの性質からだから第二項に適用して

と，だけで上から評価できる．

ここでさらに(式2)よりだから

なので，の時はだからさらに(式14)を上から評価して

である．以上から題意が示された．

【解説】

問題文がわかりにくくて(2)は(1)の前提で計算したためとしたが，の時は

である．

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