【解答】
初めから回目（）に取り出したカードの番号をとする．
(1)
に対してを個別に考えよう．だからのカードは存在することに注意しよう．
の時
この時は回目までに出したの和がになれば良いから
の二通りのみである．前者の確率は，後者の確率はでお互い排反だから求める確率は
である．
の時
この時は回目までに出したの和がになれば良いから
の三通りで，それぞれの確率は, , であって
である．
(2)
として(1)と同様にの場合を個別に考える．
の時
この時は回目までに出したの和がになれば良いが，よりとなることはないから
の三通りである．個別に確率を計算して
である．
の時
この時は回目までに出したの和がになれば良いが，に注意して
の四通りである．個別に確率を計算して
である．
(3)
まずについて考えよう．
とおく．
の時，1回目に引いた札の値で場合分けすると 回目にを引くと残りの回でを目指せばよいから確率である．一方回目にを引いたら残りの試行は関係ない．従って
を得る．と置き換えて
を得る．ここでの時は(1)の結果よりとすれば成立するから(式25)はで有効である．
に対してに注意して(式24),(式25)の辺々を引くと
を得る．(式28)をについて繰り返し用いて
である．ここでに(1)の結果を代入して
を得る．(1)よりだから(式30)はでも成立する．
以上から求めるは
である．
【別解】
(3)では漸化式を立ててから一般項を求めたが，より直接的に求められるのでそちらも紹介しよう．
を番目に引いた札の番号とすると，
である．以下となる場合を直接数えよう．
だから，これは 以上の整数 の和がとなる組の数に等しく， 個の玉と個の仕切りを並べることに対応する．仕切りの間の玉の数がに対応する．ただし仕切り同士は隣合わず，両端にもこない．
図 1: 個の玉の間の 箇所から 個の仕切りを選ぶ組み合わせ ( 通り)
このような場合の数は，箇所ある玉の間から箇所を選んで仕切りを設置する場合の数なので
通りである．全体では回引く場合の数は通りあるから，確率は
である．よってこれをについて足し合わせれば求める確率であり，
を得る．ただし最後の変形で二項定理を用いた．この結果は解答で得たものと一致している．
