【解答】
1辺1の正方形を1本の折り目で折り，線対称な五角形（二重になる部分）ができるようにする．
図 1: 正方形 を折り目 で折り返したときの様子（五角形 が重なり部分）
図のように，辺BC上に点I，辺AD上に点Hをとり，線分IHで正方形を折り返す．
この時対称性から
とおいて良い．
折り返して出来たの像をとする．
するとが線対称だから
である．
折り目と辺の交点をとおく．は上，とは上にそれぞれ配置する．
ここでの中点をとすると，は線分を軸に線対称である．
(式1),(式2)から，は四角形の対角線の交点と一致する．
新しく
とおく．
の面積を，の面積，の面積とおくと，これら3つの面積の和が台形の面積に等しいことから
である．そこで以下をで表すことでの最小値を計算しよう．
さて，が対角線の交点だからで，は二等辺三角形である．従って
である．
同様に正方形の対角線の角度に着目して
だから，(式5),(式6)から
となる．従っては二等辺三角形でとなる．
図 2: に着目した角度関係（ より は二等辺三角形）
また，対称性からだからこれら二つの三角形は合同で
つまり
である．
の面積はより
である．
従って(式4),(式9),(式10)より面積は
である．
図 3: 線分 の 3 分割（）と合同な直角三角形
さて，次にをであらわして，(式11)をの関数としてみなす．
まず(式8)からである．
また(式8)と同様に
だから，であり，辺の長さを通りに表すと
となる．
(式11)よりはが最大の時最小である．(式15)より
となる．
新しく
とおくと，は，で単調増加して
をとる．
またより
であるから(式18)に代入して
となる．これは(式20)の範囲での単調増加関数だから，は（）で最大値をとる：
したがって(式11)に代入して求める最小値は
である．
