【解答】
(1)
の極限を考えるのでが十分大きいとして良い．
は単調減少だから，区間での面積比較により
を得る．積分は
だから，(式1),(式2)をまとめて
を得る．両辺（）で割って
を得る．
この両辺はでに収束するから，はさみうちの定理から
である．
(2)
与えられた関数を
とおくと積の微分法から
となる．ここで各項は番目の因子を除いた積である．
の極値を与えるはの解である．すなわち
である．
さて，(式8)よりなる整数に対しだから，はこれらに該当せず，従って(式7)よりだから(式9)の両辺をで割って
である．これで題意の前半は示された．
次にを示す．
まずと仮定すると(式11)で左辺が負，右辺が正となって不適である．また前半の議論よりだからである．(式8)より
である．が連続であることにも注意すると，
の時
この時は(式12),(式14)より
において第一因子が負でそれ以外が正だから
である．従ってになるが存在するから
である．
以上からいずれのに対してもである．
(3)
を考えるのでが十分大きいとする．
(式11)においてより各で
だから
となる．ただし2行目では右辺の和にの変換を行った．
両辺を（）で割って
を得る．この両辺は(1)からでに収束するので，はさみうちの定理から
である．はで連続だから
が求める極限値である．
【別解】
(2)の後半部分，は平均値の定理を用いると以下のように少し簡単に評価できる．まず解答と同じようにの前提で，
より，平均値の定理からかつ
を満たす実数がある．よってである．
次にと仮定すると
より(式11)の左辺がより小さく，右辺がより大きくなって矛盾する．以上より
である．
