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東京工業大学 前期 2002年 解答解説 このページの閲覧数
#空間図形 #三角関数
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東京工業大学 前期 2002年 第3問 (解答解説)

📝 問題

空間内にある一辺の長さが1の正三角形で， の座標がであり，との座標が等しいものを考える． 点にある光源が平面上に作るこの正三角形の影の部分の面積の最大値を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

，とする．軸に関する対称性から，は平面に関して対称（座標の符号のみ逆）としてよい． の中点をとして，がにあるとして良い．

とおく．

点光源 $L$ による正三角形 $\triangle ABC$ の影 $\triangle A'B'C'$（$xy$ 平面上）

図 1: 点光源 による正三角形 の影 （ 平面上）

は1辺1の正三角形だから，，だから

と書ける．従ってへのベクトルは

となる．

さて，光源から点を通る直線が平面（）と交わる点は

で与えられる．(式3),(式4)よりに対応するは

で，座標は

となる．

影の三角形（）は，底辺を底辺，高さとする二等辺三角形で面積は

だから(式8)を代入して

である．新しく

とおくと

である．さらに簡単のため

とおくと

だからの一階微分は

となり，の増減表は以下のようになる．

最大

表 1: の増減表

従って，およびはで最大値を取る．この時だから求める最大値は(式16)より

である．

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