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東京工業大学 前期 1998年 解答解説 このページの閲覧数
#図形と方程式 #三角関数
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東京工業大学 前期 1998年 第4問 (解答解説)

📝 問題

楕円 上に点をとる． 上の点 における接線と線分のなす角が， と直線のなす角に等しいとする． ただし2直線のなす角は鋭角の方をとることにする．

  1. 座標をで表せ．

  2. 極限値およびを求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

楕円（）上に点およびをとる．この時

とおく．まずは接点の座標を求める．

楕円$C$上の点$A$,$B$と，点$B$における接線$\ell$の様子

図 1: 楕円上の点,と，点における接線の様子

における接線は

である．

の方向ベクトルは

であり，直線の方向ベクトルは

である．また

である．

3点 $X, Y, Z$ となす角 $\theta$

図 2: 3点 となす角

さて，ここで上図のような点について

だから，

とのなす角について，角は鋭角にとるので絶対値を用いて

である．

同様にとのなす角について，角は鋭角にとるので絶対値を用いて

である．ただし最後の行で, より絶対値を外した．

題意の条件は鋭角についてだから，と同値である． 従って(式7),(式10)が等しいから

左辺にを用いて

および(式1)よりだから両辺をで割って

である．

まずの時は(式14)は

となりに反して不適である．

よってであり，この時(式14)は

である．より複合負が正しく，

となる．これは確かに以下のようにを満たす． 同値変形していくと

で，最後の行は自明だからを満たす．

(1)

求めるは(式1),(式18)より

である．

(2)

まずのの極限を考える． 分子を有理化すると

したがって極限をとって

である．

次にのの極限を考えると

である．

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