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東京工業大学 前期 1997年 解答解説 このページの閲覧数
#平面図形 #三角関数
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東京工業大学 前期 1997年 第4問 (解答解説)

📝 問題

  1. 底辺の長さが，2つの底角が，の三角形の面積は，次式で与えられることを示せ．

  2. 各辺の長さが1，2，の三角形の各辺に1点ずつ頂点をもつ正三角形の面積の最小値を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

下図のように各点をおく．ここでである．

底辺 $\ell$ と 2 角 $\alpha, \beta$ による三角形 $ABC$

図 1: 底辺 と 2 角 による三角形

正弦定理から

であるから，三角形ABCの面積は

式

である．よって題意は示された．

(2)

下図のように各点をおく．ここでである．この時となる． 辺AB,BC,CA上（頂点は除く）にE,D,Fをとって三角形EDFが正三角形になるとする．この正三角形の一辺の長さを, とおくと，

である．

直角三角形 $ABC$ と内接する正三角形 $EDF$

図 2: 直角三角形 と内接する正三角形

に正弦定理を用いて

である．またに注目して

である． に(式8),(式9)を代入して

である．三角関数の合成より

である．ここではをみたすの角である． (式6)と合わせてとなるがあるからこの時は最小値

をとる．この時三角形EDFの面積は最小値

をとる．

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