東京工業大学 前期 1997年 第3問 (解答解説)

【解答】

(1)

与えられた方程式を整理すると

である．が自然数だからであって，これを満たすのは

である．

(2)

題意の方程式

を満たす解の個数をとおく．

の時は

だから解はたかだか一つしかない．

そこで以下での題意の成立を仮定してでの成立を示す． 題意の方程式でとした

を考える．

まずとして考えると，(式5)より

である．これを満たす最大の自然数をとすれば，は たかだかの通りの値をとる． そこでで固定するとは

の解である． が自然数だから右辺のも有理数であるから仮定よりこの解の個数は有限である．従って全体の(式5)の解の数は

である．の大小関係の制限を外すと全体で解の個数は

であって，これも有限である．したがってでも題意は成立する．

以上から数学的帰納法により題意は示された．