東京工業大学前期 1996年第3問 (解答解説)

【解答】

題意の関数

について考える．

が極値をとるのでは定数ではなく，よって

である．この時の一階微分は

である．

がで極値をとるので

であることが必要である．(式1),(式4)を代入して

④

である．(式2)よりだから

である．

(1)

の時のグラフの概形は下図である．

$0<\alpha<\beta$の時の $f(x)$の概形 — 図 1: の時のの概形

題意の面積に関する条件はグラフよりだから，(式1)を代入して

(式2)およびより両辺をで割って

を得る．(式10)を(式7)の第一式に代入して

だから，の組は

である．(式7)の第二式に代入すると順にである．以上から

が必要．逆にこの時，で極大値1をとることを確認する．

1. の時

この時(式4)より

だから，増減表は以下のようになる．



						極小

表 1: の増減表

従ってこの場合ははで極値をとって十分である．

2. の時

この時(式4)より

だから，の増減表は以下のようになる．



				極小

表 2: の増減表

従ってこの場合もはで極値をとり十分である．

以上から，もとめるは

である．

(2)

の時はグラフは下図のようになる．

$\alpha<0<\beta$の時の $f(x)$ の概形 — 図 2: の時のの概形

題意の面積に関する条件はグラフよりだから

より両辺をで割ると

とおくと，

さて，よりであるが，の時は左辺は正，の時は左辺は負でいずれも不適である．従ってのみが解である．この時である．これを(式7)に代入すると

がを満たす解である．

逆にこの時(式2)よりとなり，の増減表は以下のようになる．



		極小

表 3: の増減表

よってで極大となり十分である．以上から求めるは

である．

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【解答】

(1)

1. の時

2. の時

(2)