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東京工業大学 前期 1995年 解答解説 このページの閲覧数
#微分 #極限
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東京工業大学 前期 1995年 第3問 (解答解説)

📝 問題

を自然数とする．

  1. の増減を調べ，グラフの概形をえがけ，

  2. 楕円と曲線の交点のうち でない方の座標をとおく． このときであることを示せ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

の一階微分は

である．ここでは単調増加であり，と合わせてなるがただ1つ存在する． 従っての増減表は以下のようになる．

表 1: の増減表

従ってのグラフは下図である．

$y = f(x)$ の概形

図 1: の概形

(2)

は楕円の方程式とを連立した

の解でありかつであるから，(1)よりのの解である． の表式より

である．

十分大きな $n$ における $f(-n) > 0$ および $f(-n+k) < 0$ と解 $x_n$ の位置関係

図 2: 十分大きな における および と解 の位置関係

を定数とすると

である． が十分大きい時だから

となる．

(式3),(式5)とのグラフより十分大きいに対して

である．両辺をで割って

となる．右辺はでに収束するからはさみうちの定理から

である．

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