東京工業大学 前期 1995年 第1問 (解答解説)

【解答】

題意の数列

について考える．

(1)

の時を考えるのでとして良い．この時だから(式1)に代入して

である．右辺はでに収束するから，挟み撃ちの定理より

である．

(2)

からを書き出すと

である．

以下，がで単調減少であることを示す．そのためにを計算すると

より示された．これと，および(1)の結果より，なるに対してはとなりが整数になることはない．以上からが整数となるは

である．

(3)

(2)での時にだったからとおくと，の時にはは単調減少である． また(式4)からの時はである．そこでの時を順番に計算すると

である．従っての時はでは整数とならない．以上から求める整数は

である．