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東京工業大学 前期 1995年 解答解説 このページの閲覧数
#三角関数 #平面図形
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東京工業大学 前期 1995年 第2問 (解答解説)

📝 問題

右図のような4辺の長さが1で，それらのなす外角が であるような五角形の面積の最大値を求めよ．

図 1

図 1

✏️ 解答解説

【解答】

5点を，を原点，を軸正方向にとって下図のように配置する． 各点の座標をとする． ，各頂点での外角をとする． この時各点の座標は

とおける．

五角形 $ABCDE$ の配置と外角 $\theta$

図 1: 五角形 の配置と外角

五角形の面積は，三角形の面積の和であって，三角形の面積公式から

である． ここに(式1)を代入すると

だから

と計算できる．この挙動を調べるため一階微分を計算すると

となる． からでだから，の符号はと一致する． 従っての増減表は以下のようになる．

表 1: の増減表

従って，はの時，最大値

をとる．

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