東京工業大学 前期 1996年 第1問 (解答解説)

【解答】

(1)

の時には与えられた方程式は

である． だからこれを満たす組み合わせは

である．

次にの時には与えられた方程式は

である． 対称性からまずとすると，

である．これをみたす正の整数の組をかんがえて，

である． このうち(式3)をみたすのはだから

が求める解である．

以上(式2),(式7)より

である．

(2)

(1)よりの時はちょうど解は一つである．そこでの時には常に解が複数になることを示す． の時はとすると題意の方程式を満たすから，この並び替えで得られる通りも解である．したがって解がちょうど一つとなるのは

の時のみである．

(3)

(2)から任意のに対し解は少なくとも1つ存在するので有限性を示す． まず，の時をかんがえると，方程式から

となる．従ってが必要で，の組は高々通りしかない．一つが定まれば与えられた方程式はの1次方程式となるから一意に定まる．すなわち，に対しは高々1通りしかない．したがって，の時には解は高々個しかない．他の大小関係の場合を考えても解は高々通りしかない．従って有限個である．

以上から題意は示された．