東京工業大学前期 1997年第1問 (解答解説)

【解答】

与えられた二つの領域

について考える．

まずの場合を考える．この場合は, , のいずれかである．

この時は題意の不等式はという自明なものになって題意は成立する．

となるから，の時は第二式を満たすはとなりこれはの時に満たされず不適である．そこでであることが必要で，この時第二式はとなるから，なるが常にこれを満たすのはの時である．

と同様にであれば良い．

そこで以下，のもとで考える．この時，平面上で楕円の領域が常にをみたすようなの範囲をもとめれば良い．

楕円内の点の座標は

とおける．に代入して

が任意ので成立すれば良く，その条件は

である．

以上で全ての場合が尽くされたから求める条件は

である．これを平面上に図示して下図斜線部である．ただし境界とを含む．

$条件を満たす $(a,b)$ の領域（斜線部・境界および原点 $\bullet$ を含む）$

図 2: 条件を満たすの領域（斜線部・境界および原点を含む）

の場合には以下の方がより直接的で良いかもしれない．

の時にとおくと，をみたす全てのがをみたせば良く，この条件は円と直線の距離を考えて

である．