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東京工業大学 前期 1997年 解答解説 このページの閲覧数
#数列 #極限 #積分
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東京工業大学 前期 1997年 第2問 (解答解説)

📝 問題

  1. 極限値を求めよ．

  2. 任意の正数に対しては (1)と同じ極限値をもつことを証明せよ．

✏️ 解答解説

【解答】

に対して

がにかかわらず同じ値に収束することを示し，その値を求めれば(1), (2)を解いたことになる．

新しく

を考えるとのグラフは以下のようになる． ここで斜線部の面積は

である．

$S_n > \int_n^{2n} f(x)dx + \dfrac{1}{a+2n}$ の幾何学的比較

図 1: の幾何学的比較

$S_n < \int_n^{2n} f(x)dx + \dfrac{1}{a+n}$ の幾何学的比較

図 2: の幾何学的比較

の積分部分と面積を比較すると

である．ここで積分部分は

だから(式4)の左辺と右辺はで共にに収束するので，はさみうちの定理から

である． これはによらないので(2)は示された．また(1)で求める極限値はである．

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