東京工業大学前期 1996年第4問 (解答解説)

【解答】

条件(イ)(ロ)は

である．

そこで条件(ハ)について考えよう．点での接線はだからこれと垂直な法線の方程式はである．と軸の交点が，と軸の交点がだから

である．ここで(式1)よりでは単調増加で，と合わせてである．従って常にの座標の方がのそれよりも大きく，線分の長さは

である．これを(ハ)に代入して

である．

曲線 $y=f(x)$ 上の点 $P$ における接線 $\ell$，法線 $m$ と交点 $Q, R$ の関係 — 図 1: 曲線上の点における接線，法線と交点の関係

(1)

(式4)の両辺にをかけて整理すると

だから両辺で微分して，

である．

したがっては単調増加である． (式6)の両辺積分して

とおける．ただしは積分定数である． (式1)よりである．

引き続き(式7)の両辺を積分して(式1)よりだから

とおける．

(式7),(式8)を(式5)に代入して

となる．だからである．従って(式8)に代入して

である．

さて，は微分可能かつ連続だからに平均値の定理を適用して

となるがある．ここでは単調増加だったから，にも注意して

である．

以上から題意は示された．

(2)

の最小値を求めるため，一階微分からの振る舞いを調べよう．の両辺を微分すると

である．の時だからこの符号は部の符号に等しい．これをとおいて(式10)を代入して

を得る．はの二次式で，判別式とすると

となって，これはにかかわらず異なる2実数解を持つ．そこでこれをとする．の軸はだから，または

となる．以下この両者について考える．

つまりの時

この時はでとなり，の増減表は以下のようになる．

表 1: の増減表

従ってでは単調増加で求める最小値はの時の

である．

つまりの時

この時のの増減表は以下のようになる．

表 2: の増減表

従ってが最小値をとるのはの時である．よりから

である．(式6)よりだから

であり，これと(式5)より

だから，連立して解くと

となり，

以上まとめて，求める最小値は

である．

【別解】

(2)

(式5)よりの両辺を二乗すると

である．そこでとおいて

の最小値を求めに行く方が簡単に解けるだろう．

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【解答】

(1)

(2)

つまりの時

つまりの時

【別解】

(2)