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東京工業大学 前期 2005年 解答解説 このページの閲覧数
#図形と方程式
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東京工業大学 前期 2005年 第4問 (解答解説)

📝 問題

実数，がを満たしながら変化するとする．

  1. ，とするとき，点の動く範囲を平面上に図示せよ．

  2. 負でない定数をとるとき，の最大値，最小値をを用いて表せ．

✏️ 解答解説

【解答】

実数が

をみたす場合を考える．

(1)

とおく．は二次方程式の2実解だから，判別式が以上であることが必要で

である．このもとでを(式1)に代入して

である． 以上(式2),(式3)が求めるべきの存在範囲で，まとめると

である．これを図示すると下図斜線部（境界含む）である．

$(s,t)$ の存在範囲（斜線部・境界含む）

図 1: の存在範囲（斜線部・境界含む）

(2)

新しく

とおいて，この最大最小値を求めれば良い． を固定するとはの増加関数だから(式4)から

である． この左辺を，右辺をとおく:

以下に注意しての最小値およびの最大値を求めれば良い．

の最小値について：

はで最小の下に凸な放物線だから，との大小関係に注意して

  1. （）の時：頂点が区間内にあり，

  2. （）の時：は区間内で単調増加，

となる．

$g(s)$ の最小値の場合分け

図 2: の最小値の場合分け

の最大値について：

はで最小をとる下に凸な放物線だから，区間上の最大値は頂点から遠い方の端点でとる． よって

である．

$h(s)$ の最大値

図 3: の最大値

以上をまとめて，もとめる最大値・最小値は

最大値最小値

である．

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