東京工業大学 前期 1974年 第6問 (解答解説)

【解答】

与えられた関数

について考える．は明らかに連続関数である． 被積分関数の絶対値の中身を

とする．一階微分は

である．

まず，の時は(式2)よりだから(式1)の絶対値ははずせて

である． これは の単調減少関数であるから，最小値を考えるときは連続性も考慮に入れて

として良い．

この時は(式3)よりとなっては単調増加である． また端点では，となるから，中間値の定理より に なる がただ1つあって，

とかける．もの関数であることに注意して両辺をで微分すると

となっての増減表は以下のようになる．

したがって， で は最小値をとる． この時， および(式2)より，

である．

従って(式1)からを計算すると

となる．